สมการชเรอดิงเงอร์ – สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

สมการชเรอดิงเงอร์ คือสมการที่เป็นหัวใจสำคัญของ กลศาสตร์ควอนตัม (Quantum Mechanics) คิดค้นโดย แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrödinger) นักฟิสิกส์ชาวออสเตรียในปี ค.ศ. 1926

หากเปรียบเทียบกับฟิสิกส์แบบฉบับ

กฎข้อที่สองของนิวตัน (F = ma) ใช้ทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ (เช่น รถยนต์, ลูกบอล) ว่าจะอยู่ที่ไหนเมื่อเวลาผ่านไป
สมการชเรอดิงเงอร์ ใช้ทำนายพฤติกรรมของ อนุภาคขนาดเล็ก (เช่น อิเล็กตรอน, อะตอม) โดยบอกเราว่า “โอกาส” ที่จะพบอนุภาคในตำแหน่งต่าง ๆ เป็นอย่างไร

สมการชเรอดิงเงอร์เขียนในรูปแบบ ดังนี้:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right] \psi$$

โดย $\psi$ คือ ฟังก์ชันคลื่น อ่านว่า “ไซ” เป็นสัญลักษณ์เชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้บอกสถานะของอนุภาค ณ เวลา $t$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลา $\psi(x, t)$

ด้านซ้ายมือของสมการชเรอดิงเจอร์ แสดงการเปลี่ยนแปลงของระบบเทียบกับเวลา โดย

$i$ เป็น หน่วยจินตภาพ การมีอยู่ของ $i$ ทำให้คำตอบของสมการมีลักษณะเป็นจำนวนเชิงซ้อน (Complex number) ซึ่งจำเป็นต่อการเกิดปรากฏการณ์แทรกสอด (Interference) ของคลื่นควอนตัม และทำให้อนุภาคมีพฤติกรรมเหมือนคลื่นได้โดยไม่สูญเสียพลังงานไป
$\hbar$ เป็น ค่าคงตัวของพลังค์หารด้วย $2\pi$ การมีอยู่ของ $\hbar$ ช่วยกำหนดสเกลของปรากฏการณ์ควอนตัม เชื่อมโยงระหว่าง “พลังงาน” กับ “ความถี่” ของคลื่น
$\frac{\partial}{\partial t}$ เป็น อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่น ณ เวลาหนึ่งๆ ช่วยบอกว่า ณ วินาทีนี้ ฟังก์ชันคลื่น $\psi$ กำลังเปลี่ยนรูปร่างหรือเฟสไปเร็วแค่ไหน

ด้านขวามือของสมการชเรอดิงเจอร์ พลังงานของระบบ โดย

ฝั่งขวาของสมการ: พลังงานของระบบ ที่เป็นตัวขับเคลื่อนว่า ระบบจะวิวัฒนาการไปอย่างไร ซึ่งประกอบด้วย

$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right]$ เป็นส่วนพลังงานจลน์ของระบบ เกี่ยวกับการเคลื่อนที่
$V$ เป็นส่วนพลังงานศักย์ของระบบ เกี่ยวกับแรงกระทำภายนอก เช่น แรงดึงดูดของนิวเคลียส หรือสนามไฟฟ้า

สรุปคือ สมการชเรอดิงเงอร์ แสดง

“อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่นตามเวลา (ด้านซ้ายมือ) ซึ่งถูกกำหนดโดย พลังงานรวมของระบบ (ด้านขวามือ)”

นั่นหมายความว่า ถ้าเรารู้พลังงานของระบบ และรู้สถานะเริ่มต้น ($\psi$ ณ เวลา 0) เราจะสามารถคำนวณา $\psi$ ณ เวลาใด ๆ ในอนาคตได้เสมอ

การประยุกต์ใช้สมการชเรอดิงเงอร์ มีตัวอย่างสำคัญ ๆ ดังนี้:

คำนวณโครงสร้างอะตอม: ใช้อธิบายว่าอิเล็กตรอนเคลื่อนที่รอบนิวเคลียสอย่างไร ทำให้เราเข้าใจตารางธาตุและปฏิกิริยาเคมี
ปรากฏการณ์ลอดอุโมงค์ (Quantum Tunneling): อธิบายว่าอนุภาคสามารถทะลุผ่านกำแพงพลังงานที่ในทางฟิสิกส์แบบฉบับทำไม่ได้ได้อย่างไร
การออกแบบวัสดุ: ใช้ทำนายสมบัติของวัสดุใหม่ ๆ เช่น การนำไฟฟ้า หรือความเป็นแม่เหล็กในระดับนาโน

การพัฒนาสมการชเรอดิงเงอร์นี้ถือเป็นการปฏิวัติวงการฟิสิกส์และเทคโนโลยีสมัยใหม่:

รากฐานของเทคโนโลยีอิเล็กทรอนิกส์: ความเข้าใจพฤติกรรมของอิเล็กตรอนจากสมการนี้นำไปสู่การสร้าง สารกึ่งตัวนำ (Semiconductors), ทรานซิสเตอร์ และชิปคอมพิวเตอร์ที่เราใช้กันทุกวันนี้
เลเซอร์ (Lasers): การเข้าใจระดับพลังงานของอะตอมทำให้เราสามารถสร้างแสงเลเซอร์ที่ใช้ในการแพทย์ การสื่อสาร และอุตสาหกรรม
เคมีควอนตัม (Quantum Chemistry): ช่วยให้นักเคมีเข้าใจพันธะเคมีและการเกิดปฏิกิริยาได้อย่างลึกซึ้ง นำไปสู่การพัฒนายาและวัสดุสังเคราะห์ใหม่
คอมพิวเตอร์ควอนตัม (Quantum Computing): หลักการเรื่อง Superposition (การซ้อนทับของสถานะ) ซึ่งอธิบายด้วยสมการชเรอดิงเงอร์ เป็นพื้นฐานสำคัญของการประมวลผลในคอมพิวเตอร์ควอนตัม